Question

8．如图，一只杯子的上下底面分别是直径为5cm和7.5cm的圆，母线AB的长为15cm．
（1）求杯子的侧面积．
（2）从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为A，求装饰线的最短长度．

Answer 1

分析 （1）将纸杯的侧面展开，设∠O的度数是n，则根据弧长的计算公式，可得7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，解得OA=45cm，n=30°，最后求得纸杯的侧面展开图的面积；
（2）将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，根据两点之间线段最短，并运用勾股定理，求得装饰线的最短长度即可．

解答 解：（1）纸杯的侧面展开如图所示：

延长AB，A'B'交于点O，
设∠O的度数是n，则
7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，
解得：OA=45cm，n=30°，
∴BO=45-15=30cm，
∴纸杯的侧面展开图的面积为：$\frac{30π•4{5}^{2}}{360}$-$\frac{30π•3{0}^{2}}{360}$=$\frac{375}{4}π$（cm²）；

（2）如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接BD，则BD的长度是装饰线的最短长度．

过B作BE⊥OD于E，则Rt△BOE中，OB=30，∠BOE=60°，
∴OE=15cm，BE=15$\sqrt{3}$cm，
∴DE=45-15=30（cm），
∴在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（15\sqrt{3}）^{2}+3{0}^{2}}$=15$\sqrt{7}$（cm）．
故装饰线的最短长度为15$\sqrt{7}$cm．

点评 本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的综合运用，画出平面展开图，作辅助线构造扇形是解答此题的关键．