Question

【题目】（1）问题发现：

如图①，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点 B 在线段AE 上，点 C 在线段AD 上，请直接写出线段 BE 与线段 CD 的数量与位置关系是关系： ；

（2）操作探究：

如图②，将图①中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段 BE 与线段 CD 的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；

（3）解决问题：

将图①中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若 DE=2AC，在旋转的过程中，当以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是 度．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD（2）成立（3）45°或 225°或 315°

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．

（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，

∴AE﹣AB=AD﹣AC，

∴BE=CD；

故答案为：BE=CD，BE⊥CD；

（2）（1）结论成立，

理由：如图，

∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD，

在△BAE 与△CAD 中， ，

,

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，

∴∠BED+∠EDF=∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，

∴EFD=90°， 即：BE⊥CD

（3）如图，

∵以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵ED=2AC，

∴AC=CD，

∴∠CAD=45°

或360°﹣90°﹣45°=225°，或 360°﹣45°=315°

∴角α的度数是 45°或 225°或 315°．

故答案为：45°或 225°或 315（其中一种情况就可以）．