Question

关于x的一元二次方程x²+x-k=0有两个实数根x₁、x₂，若[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到k≥-

1

4

，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-k，把两根之和变形得x₁+1=-x₂，x₂+1=-x₁，然后利用整体代入把[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3变形为（2-x₁•x₂）（3+2x₁•x₂）=3，再两根之积代入得（2+k）（3-2k）=3，解此得k₁=-

3

2

，k₂=1，最后根据k的范围确定k的值．

解答：解：根据题意得△=1-4•（-k）≥0，解得k≥-

1

4

，
x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-k，
∴x₁+1=-x₂，x₂+1=-x₁，
∵[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3，
∴（2-x₁•x₂）（3+2x₁•x₂）=3，
∴（2+k）（3-2k）=3，
整理得2k²+k-3=0，解得k₁=-

3

2

，k₂=1，
而k≥-

1

4

，
∴k的值为1．
故答案为1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．