如图1.分别过线段AB的端点A.B作直线AM.BN.且AM∥BN.∠MAB.∠NBA的角平分线交于点C.过点C的直线l分别交AM.BN于点D.E．(1)△ABC是三角形,(2)在图1中.当直线l⊥AM时.线段AD.BE.AB之间有怎样的数量关系?直接写出你的猜想,(3)当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时.在如图2.3两种情况下:①图2中.线段AD.BE.AB之间的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）△ABC是

三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下：
①图2中，线段AD、BE、AB之间的数量关系是

．
②图3中，线段AD、BE、AB之间是否有①中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）根据平行线性质得出∠MAB+∠ABN=180°，求出∠CAB+∠ACB=

（∠MAB+∠ABN）=90°，求出∠ACB=90°即可．
（2）求出AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案．
（3）①求出AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案
②延长AC交N于点F，同①可得AB=BF，再由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△FCE，故可得出AD=EF，由此可得出结论．

解答：（1）证明：AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∵AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，
∴∠CAB=

∠MAB，∠ABC=

∠ABN，
∴∠CAB+∠ACB=

（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角；

（2）AD+BE=AB，
证明：延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴

=1，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．
故答案为：AD+BE=AB．

（3）①成立，
证明：如图2，
延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴

=1，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．

②不同，猜想：AD+AB=BE．
证明：延长AC交BE于点F，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AFB．
∵AC是∠MAB的平分线，
∴∠MAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠AFB，
∴AB=BF．
∵AC⊥BC，
∴AC=CF．
∵AM∥BN，
∴∠DAC=∠EFC，
在△ACD与△FCE中，
∵

∠ACD=∠FCE

AC=FC

∠DAC=∠EFC

，
∴△ACD≌△FCE，
∴AD=EF，
∴AD+AB=BE．

点评：本题考查了的是平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．

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