Question

如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．

（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，
则AN=m，
∴∠ANB=∠AMC=90°，
在△ABN和△ACM中
，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）
∴BN=CM，AN=AM，
又∵∠ANF=∠AMF=90°，
在Rt△AFN和Rt△AFM中
，
∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），
∴NF=MF，
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF，
=BN+CM=2BN=n，
∴BN=，
∴在Rt△ABN中，AB²=BN²+AN²=m²+=m²+，
在Rt△ACD中，CD²=AB²+AC²=2AB²=2m²+，
∴CD=．

（3）解：的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴=，
∴=．
分析：（1）连接AB，根据线段垂直平分线性质求出AB=AC=AD，推出∠ADB=∠ABD，根据∠ABD=∠ACM求出即可；
（2）过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，根据AAS证Rt△ABN≌Rt△ACM，推出BN=CM，AN=AM，证Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），推出NF=MF，求出BN长，根据勾股定理和等腰直角三角形性质求出CD的平方，即可求出答案；
（3）过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q，根据AAS证Rt△DHA≌Rt△AOC，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出∠DBQ=45°，推出∠HDE=45°，得出等腰直角三角形DHE即可．
点评：本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，线段垂直平分线性质等知识点，解（1）小题关键是求出∠ABD=∠ADB，解（2）小题的关键是求出BN的长，解（3）小题的关键是证出等腰直角三角形DEH，此题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好．