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    定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
    （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
    （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
    （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
    ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
    ②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
    【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-，顶点坐标是（-，）】．

    【答案】分析：（1）利用b2=ac即b2-ac=0的抛物线为黄金抛物线；
    （2）根据题意得到b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可．
    （3）根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式，然后利用等腰三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等的点P的坐标．
    解答：解：（1）答：如y=x2，y=x2-x+1，y=x2+2x+4等；（3分）

    （2）依题意得b2=ac
    ∴△=b2-4ac（4分）
    =b2-4b2
    =-3b2，（5分）
    ∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点（6分）
    当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点（7分）

    （3）答：①新抛物线的解析式为y=2x2-2x-1（9分）
    ②存在（10分）
    有四个符合条件的点P的坐标：（0，-1），（1，-1），（-，），（，）（14分，答对一个给1分）
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
    （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
    （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
    （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
    ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
    ②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
    【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-
    b
    2a
    ，顶点坐标是（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ）】．精英家教网

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    科目：初中数学 来源：2012年浙江省绍兴市八校联考初三数学试卷（解析版） 题型：解答题

    定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
    （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
    （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
    （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
    ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
    ②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
    【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-，顶点坐标是（-，）】．

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    科目：初中数学 来源：2011年福建省南平市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
    （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
    （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
    （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
    ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
    ②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
    【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-，顶点坐标是（-，）】．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a、b、c是常数，a≠0)，若b2＝4ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2－2x＋2是黄金抛物线．

    （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式_   ▲   ；

    （2）若抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a、b、c是常数，a≠0)是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；

    （3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位

    ① 直接写出平移后的新抛物线的解析式；

    ② 设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由  

    【提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是 (－，)】

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