Question

6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=$\frac{3}{5}$，AB=4．
（1）证明：△ADE∽△CAB；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，可知∠ABC=90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ACB=∠DAE，易证：△ADE∽△CAB；
（2）根据等角的余角相等，得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长，运用勾股定理求BC的长，即为AD的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAE，
∵DE⊥AC于E，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
∴△ADE∽△CAB；
（2）在△ABC与△AED中，
∵DE⊥AC于E，∠ABC=90°，
∠EAD=∠ACB，
∴∠BAC=∠ADE=α．
∴cos∠BAC=cosα=$\frac{3}{5}$，
∴AC=$\frac{AB}{cos∠BAC}$=$\frac{20}{3}$．
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{16}{3}$．
∴AD=BC=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定、解直角三角形、直角三角形性质和矩形的性质，旨在培养学生逻辑推理能力、运算能力．