Question

1．如图，在△ABC中，BA=BC=8cm，AC=10cm，点P从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，设运动时间为x秒，问：
（1）x为何值时，PQ∥BC？
（2）x为何值时，△APQ∽△ACB；
（3）x为何值时，∠AQP=∠CBQ．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可；
（2）根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可；
（3）根据题意证明△APQ∽△CQB，根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）由题意得，AP=x，CQ=10-2x，
当PQ∥BC时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{10-2x}{10}$，
解得，x=$\frac{40}{13}$；
（2）∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{10-2x}{8}$，
解得，x=$\frac{25}{7}$；
（3）∵∠AQP=∠CBQ，∠A=∠C，
∴△APQ∽△CQB，
∴$\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{BC}$，即$\frac{x}{2x}$=$\frac{10-2x}{8}$，
解得，x=3，
则x为3秒时，∠AQP=∠CBQ．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．