Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（-1，5），与y轴相交于点D，直线y=kx+m与抛物线相交于B、C两点，与y轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求tan∠DCB的值．
（3）若点P在直线BC上，该抛物线上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（4，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-4），代入点C坐标后，得：
a（-1-1）（-1-4）=5，解得 a=
∴抛物线的解析式：y=（x-1）（x-4）=x²-x+2．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得
∴直线BC：y=-x+4，则 E（0，4）．
过C作CF⊥y轴于F，过D作DG⊥BC于G，如右图；
在Rt△OBE中，OB=OE=4，所以∠OBE=∠OEB=∠CEF=45°；
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，则 CF=EF=1，CE=；
在Rt△DEG中，∠DEG=45°，DE=4-2=2，EG=DG=；
在Rt△CDG中，CG=CE+EG=2，DG=，所以 tan∠DCB==．

（3）假设存在符合条件的P、Q点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
①以AB为对角线，则P、Q关于AB的中点对称，取AB的中点（2.5，0），设点P（x，-x+4），则Q（5-x，x-4）；
由于点Q在抛物线的图象上，依题意有：
（5-x）²-（5-x）+2=x-4
解得：x₁=3、x₂=4（舍去）
∴P₁（3，1）；
②以AB为边，那么PQ∥AB（即P、Q点的纵坐标相同）且PQ=AB=3，设P（x，-x+4），则Q（x+3，-x+4）或（x-3，-x+4）；
将点Q的坐标代入抛物线的解析式中，依题意有：
当Q（x+3，-x+4）时，（x+3）²-（x+3）+2=-x+4，解得：x₁=2，x₂=-5；
∴P₂（2，2）、P₃（-5，9）；
当Q（x-3，-x+4）时，（x-3）²-（x-3）+2=-x+4，解得：x₁=4（舍），x₂=5；
∴P₄（5，-1）．
综上，存在符合条件的P点，且坐标为：P（3，1）、（2，2）、（-5，9）、（5，-1）．
分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式．
（2）首先由B、C的坐标求出直线BC的解析式以及∠CBO的度数，然后分别过C作y轴的垂线、过D作直线BC的垂线，通过构建的两个直角三角形，求出与tan∠DCB相关的两条直角边，由此得解．
（3）此题的情况较为复杂，但由于AB位于x轴上，所以总体上可分作两种情况：
①以AB为对角线，那么先找出AB的中点，由直线BC的解析式表示出点P的坐标，然后根据平行四边形的对称中心是两条对角线的交点（即AB的中点）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求出符合条件的P点坐标；
②以AB为边，那么PQ必与AB平行，及P、Q两点的纵坐标相同，首先表示出P点坐标，然后根据AB的长（PQ=AB）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．
点评：该题考查的内容并不复杂，主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形以及平行四边形的判定和性质；但最后一题需要考虑的情况较多，能够根据平行四边形的性质准确找出P、Q点坐标间的关系，是突破此题的关键所在．