Question

8．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6．DC=7．把三角板DCE绕着C点顺时针旋转15°得到△D₁CE₁，如图②，此时AB与CD₁交于点O．求线段AD₁的长．

Answer 1

分析 由∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°得到∠DCE=60°，△ABC为等腰直角三角形，再根据旋转的性质得∠D₁CE₁=∠DCE=60°∠BCE₁=15°，所以∠D₁CB=45°，于是可判断OC为等腰直角三角形ABC斜边上的中线，则OC⊥AB，OC=OA=$\frac{1}{2}$AB=3，则OD=CD-OC=4，然后在Rt△AOD₁中根据勾股定理计算AD₁．

解答 解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°
∴∠DCE=60°，△ABC为等腰直角三角形，
∵三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁，
∴∠D₁CE₁=∠DCE=60°∠BCE₁=15°，
∴∠D₁CB=45°，
∴OC平分∠ACB，
∴CO⊥AB，OA=OB，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴OD=CD-OC=7-3=4，
在Rt△AOD₁中，AD₁=$\sqrt{A{O}^{2}+O{{D}_{1}}^{2}}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理．