Question

仔细观察下列四个等式
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
4×5×6×7+1=841=29²
（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．
（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程
（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．

Answer 1

分析：（1）根据结果可直接看出它们都是完全平方数；
（2）根据规律计算一个例子即可，可得第n个等式应是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（3）可举例11×12×13×14+1进行计算，再算出（11²+3×11+1）²的结果即可验证结论．

解答：解：（1）都是完全平方数…（3分）；

（2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）；
仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：
1×2×3×4+1=（1×4+1）²
2×3×4×5+1=（2×5+1）²
3×4×5×6+1=（3×6+1）²
4×5×6×7+1=（4×7+1）²
5×6×7×8+1=（5×8+1）²
…
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²．
即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²…（8分）

（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（11²+3×11+1）²=（121+33+1）²=155²=24025．
∴11×12×13×14+1=（11²+3×11+1）²．
猜想正确 …（10分）

点评：此题主要考查了数字的变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．