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如图所示,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.
(1)由题意可得:
4a+c=0
a+c=-3

解得
a=1
c=-4

∴抛物线的解析式为:y=x2-4;

(2)由于A、D关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,连接BD.
则BD与y轴的交点即为M点;
设直线BD的解析式为:y=kx+b(k≠0),则有:
-k+b=-3
2k+b=0

解得
k=1
b=-2

∴直线BD的解析式为y=x-2,点M(0,-2);

(3)设BC与y轴的交点为N,则有N(0,-3);
∴MN=1,BN=1,ON=3;
S△ABM=S梯形AONB-S△BMN-S△AOM=
1
2
(1+2)×3-
1
2
×2×2-
1
2
×1×1=2;
∴S△PAD=4S△ABM=8;
由于S△PAD=
1
2
AD•|yP|=8,
即|yP|=4;
当P点纵坐标为4时,x2-4=4,
解得x=±2
2

∴P1(-2
2
,4),P2(2
2
,4);
当P点纵坐标为-4时,x2-4=-4,
解得x=0,
∴P3(0,-4);
故存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(-2
2
,4),P2(2
2
,4),P3(0,-4).
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.

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(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标;
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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

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(1)求此抛物线的函数表达式,写出它的对称轴;
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,使△MBC的周长最小,求点M的坐标;
(3)若点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,过点P作PDCM交x于点D,连接MD、MP,设△MPD的面积为S,求当点P运动到何处时S的值最大?

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如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=-
2
3
x2+bx+5
的图象与x轴、y轴的公共点分别为A(5、0)、B,点C在这个二次函数的图象上,且横坐标为3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)如果点D在这个二次函数的图象上,且∠DAC=45°,求点D的坐标.

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如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),交y轴于C(0,-2),过B、C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴负半轴上,且PB=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,过M向直线BC作垂线,垂足为H.若M在y轴左侧,且△CHM△BOC,求点M的坐标.

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有一座抛物线型拱桥,其水面宽AB为18米,拱顶O离水面AB的距离OM为8米,货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF,如图建立平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如果限定矩形的长CD为9米,那么矩形的高DE不能超过多少米,才能使船通过拱桥;
(3)若设EF=a,请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示,并指出a的取值范围.

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