Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C是线段AB上一动点CD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，OA＝6，AD＝OE．

（1）求直线AB的解析式；

（2）连接ED，过点C作CF⊥ED，垂足为F，过点B作x轴的垂线交FC的延长线于点G，求点G的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AG，作四边形AOBG关于y轴的对称图形四边形AONM，连接DN，将线段DN绕点N逆时针旋转90°得到线段PN，H为OD中点，连接MH、PH，四边形MHPN的面积为40，连接FH，求线段FH的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6；（2）G点坐标为（﹣6，6）；（3）

【解析】

（1）易证四边形DCEO为矩形，结合AD=OE，可得AD=CD，△ACD，△ABO是等腰直角三角形，OB=OA=6，从而获得A、B两点的坐标，然后用待定系数法就可以求出AB的解析式；
（2）可使用设参法，设D点坐标为（0，a），用（1）中的几何关系将OD、CE、AD、CD、EO表示出来，继而表示C、E点的坐标，用待定系数法求出直线DE的解析式，根据DE和FG的垂直关系以及C点的坐标求出直线FG的解析式，从而求出点G的坐标；
（3）设AD=a，通过已知的面积关系建立方程，求出a的值，从而获得各点的坐标，在△ADF中利用等面积法求出点F的坐标，从而求出FH的长．

解：（1）∵CD⊥y轴，CE⊥x轴

∴∠CDO＝∠CEO＝90°

又∵∠DOE＝90°

∴四边形DCEO是矩形

∴CD＝OE

又∵AD＝OE

∴AD＝CE

∴AD＝CD

∴△ACD是等腰直角三角形

∴∠ACD＝45°

∴∠ABO＝45°

∴∠ACD＝∠ABO

∴AO＝BO＝6

∴A（0，6），B（﹣6，0）

设直线AB的解析式为y＝kx+6

将A（﹣6，0）代入，得0＝﹣6k+6

解得，k＝1

∴直线AB的解析式为：y＝x+6

（2）

如图所示，设D（0，a），则OD＝CE＝a，AD＝CD＝EO＝6﹣a

∴C（a﹣6，a），E（a﹣6，0）

设yDE＝k1x+a，将E（a﹣6，0）代入，得，

0＝（a﹣6）k1+a

解得，

∴yDE＝

设yFG＝k2x+b1

∵DE⊥FG

∴k1k2＝﹣1

∴

∴yFG＝

将C（a﹣6，a）代入，得，

解得，

∴yFG＝+

∵当x＝﹣6时，yFG＝6

∴G点坐标为（﹣6，6）

（3）根据题意，如图所示

可证△ODN≌△NPK

∴ON＝NK＝6

∴四边形ONKL为正方形

设AD＝a，则OH＝DH＝3﹣

PK＝OD＝6﹣a

LP＝a

SMHPN＝SAMKL﹣S△AMH﹣S△NKP﹣S△OLP

＝6×12﹣

＝45﹣3a+

45﹣3a+＝40

解得a1＝2，a2＝10（舍）

作FS⊥CD

可得CD＝2，EC＝4

∴ED＝2

由等面积法

CDCE＝EDCF

2×4＝2×CF

∴CF＝

∵CD＝2

∴DF＝

CDFS＝CFFD

FS＝

∴SD＝

∴F（，）

∴