Question

【题目】如图，在四边形中，平分，，是的中点，，过作于，并延长至点，使．

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【解析】

（1）欲证明AC2＝CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；

（2）利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

证明：（1）∵AC平分∠BCD，

∴∠DCA＝∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE＝90°，∠CAE+∠EAB＝90°，

∴∠DAC＝∠EAB．

又∵E是BC的中点，

∴AE＝BE，

∴∠EAB＝∠ABC，

∴∠DAC＝∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CDBC；

（2）证明：∵EF⊥AB，AC⊥AB，

∴EF∥AC，

又∵∠B＝30°，

∴AC＝BC＝EB＝EC．

又EF＝EB，

∴EF＝AC，

即AF＝FE＝EC＝CA，

∴四边形AFEC是菱形．