Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
（4）若F点坐标为（4，0），OF绕点O顺时针旋转得到OF′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接F′B、F′C，求2F′B+F′C的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式和直线DE的解析式，利用配方法求抛物线的对称轴，即点E的横坐标为x=3，代入直线DE中可求得E的纵坐标，根据对称性求得点B的坐标；
（2）如图1，根据△FOE≌△FCE，对应边相等，得FC=FO，所以F在OC的中垂线上，点F纵坐标为-4，代入抛物线后求得点F的坐标；
（3）由题意可知：分情况讨论：即当OP=OQ和当OQ=PQ时，△OPQ是等腰三角形，构建平行线，利用相似三角形的性质和判定，结合待定系数法解一次函数的解析式，即可求出结论；
（4）如图4中，取点K（0，-2），连接BK、KF′、OF′，只要证明△KOF′∽△F′OC，推出KF′=$\frac{1}{2}$F′C，所以2BF′+CF′=2（BF′+$\frac{1}{2}$CF′）≥2BK，所以当K、F′、B共线时，2BF′+CF′的值最小，最小值为2BK．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{25}{2}$，
∴抛物线对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（-2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y=kx，
∵经过点D（6，-8），
∴6k=-8，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x，
∵点E为直线l与抛物线的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-$\frac{4}{3}$×3=-4，
∴点E坐标（3，-4）．
（2）如图1，抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
过C作CG⊥对称轴于G，
当x=0时，y=-8，
∴C（0，-8），
∴OC=8，
∵E（3，-4），
由勾股定理得：OE=5，CE=5，
∴OE=CE，
此时点F纵坐标为-4，
∴$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，
∴x²-6x-8=0，
x=3±$\sqrt{17}$，
∴点F坐标（3+$\sqrt{17}$，-4）或（3-$\sqrt{17}$，-4）；
（3）①如图2中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，-4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OE}{OQ}$，
∴OM=OE=5，
∴点M坐标（0，-5）．
设直线ME的解析式为y=k₁x-5，
∴3k₁-5=-4，
∴k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直线ME解析式为y=$\frac{1}{3}$x-5，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x-5=0，解得x=15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OB}{OH}$，即$\frac{-m}{5}$=$\frac{8}{15}$，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
②如图3，
当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
由（2）得OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k₂x-8，
∴3k₂-8=-4，
∴k₂=$\frac{4}{3}$，
∴直线CE解析式为y=$\frac{4}{3}$x-8，
令y=0，得$\frac{4}{3}$x-8=0，
∴x=6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-m}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴m=-$\frac{32}{3}$．
③OP=PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，-8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=-$\frac{8}{3}$或-$\frac{32}{3}$时，△OPQ是等腰三角形；
（4）如图4中，取点K（0，-2），连接BK、KF′、OF′．
∵∠KOF′=∠COF′，OK=2，OF′=4，OC=OB=8，
∴$\frac{OK}{OF′}$=$\frac{OF′}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△KOF′∽△F′OC，
∴KF′=$\frac{1}{2}$F′C，
∴2BF′+CF′=2（BF′+$\frac{1}{2}$CF′）≥2BK，
∴当K、F′、B共线时，2BF′+CF′的值最小，最小值为2BK=2•$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{17}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，与方程相结合，本题构造相似三角形解决最值问题是难点，属于中考压轴题．．