Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC
（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交CD延长线于点F；
（2）求证：△ABC≌△FCE．

Answer 1

分析：（1）以E为圆心，以任意长为半径画弧，与AC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的同侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点E画直线，即为过点E所作的AC的垂线，交CD延长线于点F，如图所示；
（2）先根据同角的余角相等得出∠A=∠CFE，再利用AAS即可证明△ABC≌△FCE．

解答：解：（1）如图所示：

（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠CFE+∠ACD=90°，
∴∠A=∠CFE．
∵在△ABC与△FCE中，

∠ACB=∠FEC=90° ∠A=∠CFE=90°-∠ACD BC=CE

，
∴△ABC≌△FCE（AAS）．

点评：本题考查了尺规作图及全等三角形的判定，比较简单．过一点作一条直线的垂线是基本作图，判定两个三角形全等的方法都需熟练掌握．