Question

2．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF．若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）求点N的运动速度；
（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？
（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）证明△EMC∽△ABC，由MC=x，得到EM=$\frac{1}{2}$x，根据△BFN是等腰直角三角形，得到BN=FN=$\frac{1}{2}$x，求出点N的运动速度；
（2）根据当点M、N相遇时，MC=$\frac{8}{3}$，从0＜x＜$\frac{8}{3}$和$\frac{8}{3}$＜x≤4两种情况进行讨论；
（3）分别求出0＜x＜$\frac{8}{3}$和$\frac{8}{3}$＜x≤4时，矩形EMNF的面积的最大值，比较确定答案．

解答 解：（1）由题意得：MC=x，
∵AB⊥BC，EM⊥BC，
∴AB∥EM，
∴△EMC∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{MC}{BC}$，
即$\frac{EM}{2}$=$\frac{x}{4}$，
∴EM=$\frac{1}{2}$x，
∵四边形EMNF为矩形∴EM=FN=$\frac{1}{2}$x，
∵CD⊥BC，BC=CD，
∴∠DBC=45°
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BN=FN=$\frac{1}{2}$x，
又∵$\frac{\frac{1}{2}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，
∴点N的运动速度是每秒$\frac{1}{2}$个单位长度．
（2）当点M、N相遇时，有x+$\frac{1}{2}$x=4，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
当点M到达点B时，点N停止运动，此时x=4．
若矩形EMNF为正方形，则：FN=MN，
①当0＜x＜$\frac{8}{3}$时，FN=$\frac{1}{2}$x，MN=4-$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x=4-$\frac{3}{2}$x，
解得：x=2，
②当$\frac{8}{3}$＜x≤4时，EM=4-x，
MN=x-（4-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-4
∴4-x=$\frac{3}{2}$x-4，解得：x=$\frac{16}{5}$，
综上可得，当x=2或x=$\frac{16}{5}$时，矩形EMNF为正方形．
（3）①当0＜x＜$\frac{8}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$x（4-$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∴当x=$\frac{4}{3}$时，S最大，最大值是$\frac{4}{3}$．
②当$\frac{8}{3}$＜x≤4时，S=（4-x）（$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∵抛物线开口向下，且对称轴为直线x=$\frac{10}{3}$，
∴当x=$\frac{10}{3}$时，S最大，最大值是$\frac{2}{3}$．
综上可得，当x=$\frac{4}{3}$时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是四边形知识的综合应用，掌握正方形的判定和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．