如图.△ABC中.∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1.(1)当∠A为70°时.则∠A1的度数是35°,当∠A=90°时.∠A1的度数是45°,(2)①探索∠A与∠A1之间数量关系并证明你的结论,②若∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2.∠A2BC与A2CD的平分线交于A3.如此继续下去可得A4.-.An.请你直接写出∠An与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁，
（1）当∠A为70°时，则∠A₁的度数是35°；当∠A=90°时，∠A₁的度数是45°；
（2）①探索∠A与∠A₁之间数量关系并证明你的结论；
②若∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄、_…、A_n，请你直接写出∠A_n与∠A的数量关系∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
（3）如图，若P为BA延长线上一动点，连PC，∠APC与∠ACP的角平分线交于Q，随着点P的运动，∠Q+∠A₁的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．

分析（1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）①同（1），②由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁，可得∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；根据上面的思路可知：∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，…∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，根据这个规律进行求解即可．
（3）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A₁=∠APC+∠ACP=2（∠QPC+∠QCP），利用三角形内角和定理表示出∠QPC+∠QCP，即可得到∠A₁和∠Q的关系．

解答解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°
∵∠A=90°，
∴∠A₁=45°；
故答案为：35，45；

（2）①∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A；
②同②可求得：
∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此类推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
故答案为：∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；

（3）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠APC+∠ACP=2（∠QPC+∠QCP）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化简得：∠A₁+∠Q=180°．

点评此题主要考查的是三角形的外角性质，还涉及到角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，难度适中．

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