Question

4．若三个数x，y，z满足$\frac{xy}{x+y}$=-2，$\frac{yz}{y+z}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}$=-$\frac{4}{3}$，则$\frac{xy+yz+xz}{xyz}$的值是-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 把等式$\frac{xy}{x+y}$=-2变形得到$\frac{x+y}{xy}$=-$\frac{1}{2}$，再把分母化为xyz得到$\frac{xz+yz}{xyz}$=-$\frac{1}{2}$，同样得到得$\frac{xy+xz}{xyz}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{yz+xy}{xyz}$=-$\frac{3}{4}$，然后把三个分式相加可计算出所求分式的值．

解答 解：∵$\frac{xy}{x+y}$=-2，$\frac{yz}{y+z}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}$=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{x+y}{xy}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{xz+yz}{xyz}$=-$\frac{1}{2}$，
同理可得$\frac{xy+xz}{xyz}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{yz+xy}{xyz}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{xz+yz}{xyz}$+$\frac{xy+xz}{xyz}$+$\frac{yz+xy}{xyz}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{xy+yz+xz}{xyz}$=-$\frac{1}{4}$．
故答案为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：根据所求代数式的结构特点，通过变形已知条件化为同分母的分式，然后进行分式的加法运算．