Question

6．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠DAE}&{\;}\\{∠B=∠DEA=90°}&{\;}\\{AB=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：1²+（2x）²=（3x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．