Question

29、如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说明理由．

Answer 1

分析：可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．

解答：解：由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，从而得到∠PDC=∠DPC，所以PC=DC．
又因为AB=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角顶点放在点P处，所以∠APE=90°．
从而∠APB+∠EPC=90°．
∴∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，
因为∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，
所以△PAB≌△EPC，
从而可得PE=PA．

点评：本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目．