Question

14．如图，AC⊥BC，直线AM∥CB，点P在线段AB上，点D为射线AC上一动点，连结PD，射线PE⊥PD交直线AM于点E．已知BP=$\sqrt{2}$，AC=BC=4，
（1）如图1，当点D在线段AC上时，求证：PD=PE；
（2）当BA=BD时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AE的长；
（3）如果∠EPD的平分线交射线AC于点G，设AD=x，GD=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠HPF=90°，进而判断出∠HPD=∠FPE，再判断出PH=PF，得到△PHD≌△PFE即可；
（2）依题意画出图形，由（1）得到△PHD≌△PFE．再判断出△BAC≌△BDC，求出AP=$3\sqrt{2}$．AH=3，进而求出AE；
（3）先表示出HD=x-3．EF=x-3．AE=6-x．再判断出∠EPG=∠DPG．得出△GDP≌△GEP．在Rt△AGE中，GE²=AG²+AE²，即y²=（x-y）²+（6-x）²，即可．

解答 解：（1）证明：如图1，

作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，
∵AC⊥BC，AM∥CB，
∴AC⊥AM．
∵∠AHP+∠HAF+∠AFP+∠FPH=360°，
∴∠HPF=90°．
∵PE⊥PD，即∠DPE=90°，
∴∠HPD=∠FPE．
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵AM∥CB，
∴∠MAB=∠CBA=45°．
∴∠CAB=∠BAM．
∴PH=PF．
∴△PHD≌△PFE．
∴PD=PE．
（2）解：如图2，

作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，同（1）得△PHD≌△PFE．
∴DH=EF．
∵BA=BD，∠ACB=∠DCB=90°，BC=BC，
∴△BAC≌△BDC．
∴CD=CA=4．
∵AC⊥BC，AC=BC=4，
∴AB=$4\sqrt{2}$．
∵BP=$\sqrt{2}$，
∴AP=$3\sqrt{2}$．
∵PH⊥AC，∠CBA=45°，
∴HP=AH=3，
∴DH=AD-AH=8-3=5．
∴EF=5．
∵在四边形AHPF中，PH⊥AC，PF⊥AC，AC⊥BC，
∴AHPF是矩形．
∴AF=HP=3．
∴AE=EF-AF=5-3=2．
（3）如图3，

作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，由（2）得DH=EF．
∵∠CAB=45°，∴HA=HP=3，
∴HD=x-3．
∴EF=x-3．
∴AE=6-x．
∵PG平分∠EPD，
∴∠EPG=∠DPG．
∵PD=PE，GP=GP，
∴△GDP≌△GEP．
∴GE=GD=y．
在Rt△AGE中，GE²=AG²+AE²，即y²=（x-y）²+（6-x）²，
∴$y=x+\frac{18}{x}-6$（x≥3）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，解本题的关键是判断△PHD≌△PFE．