Question

如图，直线AB分别与x轴、y轴相交于点A和点B，如果A（2，0），B（0，4）线段CD两端点在坐标轴上滑动（C点在y轴上，D点在x轴上），且CD=AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当C点在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，直接写出C、D两点的坐标；
（3）是否存在经过第一、二、三象限的直线CD，使CD⊥AB？如果存在，请求出直线CD的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线解析式为：y=kx+b，把点A（2，0），B（0，4）代入即可求解；
（2）三角形COD和AOB都是直角三角形，因此两直角边相等，那么两三角形就全等了，由此可知，OC，OD的值应该和OB，OA的值相等．由于CD可以在不同的象限，因此可分情况进行讨论；
（3）那么线段CD应该在第二象限，只要让OD=OB，OA=OC，即C（0，2），D（-4，0）时，CD⊥AB（可通过三角形全等得出角相等，然后根据相等角的转换得出垂直）．那么根据这两点的坐标用待定系数法即可得出函数的解析式．

解答：解：（1）设直线解析式为：y=kx+b，把点A（2，0），B（0，4）代入，解得：k=-2，b=4，
故函数解析式为：y=-2x+4

（2）由题意，得A（2，0），B（0，4），
即AO=2，OB=4．
①当线段CD在第一象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（4，0）．
②当线段CD在第二象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（-2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（-4，0）．
③当线段CD在第三象限时，
点C（0，-4），D（-2，0）或C（0，-2），D（-4，0）．
④当线段CD在第四象限时，
点C（0，-4），D（2，0）或C（0，-2），D（4，0）．

（3）C（0，2），D（-4，0）．
直线CD的解析式为y=

1

2

x+2．
所以存在经过第一、二、三象限的直线CD，使CD⊥AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，熟练应用全等三角形的判定的知识是解答本题的关键．