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7.如图,△ABC中,AB=AC,D,E分别是BC,AB的中点,作BF⊥AC且使BF=AC,BG平分∠ABF.
(1)判断△BDG的形状,并证明你的结论;
(2)求证:△DGE∽△BCF.

分析 (1)根据直角三角形的性质,可得∠FBA+∠BAC=90°,根据等式的性质,可得∠GBF+∠CBF=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABF)=45°,根据等腰直角三角形的判定,可得答案;
(2)根据等腰三角形的性质,可得∠EDA=∠EAD=∠CBF,根据等量代换,可得BG=BD=$\frac{1}{2}$BC,ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF,根据相似三角形的判定,可得答案.

解答 解:(1)△BDG是等腰直角三角形,
证明:∵BF⊥AC,
∴∠FBA+∠BAC=90°.
∵AB=AC,BD=DC,
∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠DAC=DBF.
∵∠GBF=$\frac{1}{2}$∠ABF,
∴∠GBF+∠CBF=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABF)=45°,
∴∠BGD=45°,
∴∠DBG=∠BGD,
∴DB=DG,
∴△BDG是等腰直角三角形;
(2)∵EA=EB=ED,
∴∠EDA=∠EAD=∠CBF.
∵BG=BD=$\frac{1}{2}$BC,ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF,
∴$\frac{GD}{BC}$=$\frac{ED}{BF}$=$\frac{1}{2}$,
∴△DGE∽△BCF

点评 本题考查了相似三角形的判定,(1)利用了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,等式的性质,等腰直角三角形的判定;(2)利用了等腰三角形的性质,等量代换,利用等量代换得出BG=BD=$\frac{1}{2}$BC,ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF是解题关键.

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