Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	5.2	4.4	3.6	3.0	2.7	2.7
y2/cm	5.2	4.6	4.2		4.8	5.6	6.0

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整：（保留一位小数）

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，y2的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）4.2，3.0；（2）详见解析；（3）4.5或6.0．

【解析】

（1）当x＝3时，点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形，当x＝6时，点D与B重合，由此即可解决问题；

（2）利用描点法画出函数图象即可；

（3）利用直角三角形30度角的性质可知：EC＝2CD，推出y2＝2y1，观察函数图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6cm．

解：（1）当x＝3时，∵AB＝6，AD＝3，

∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形，

∴CD＝DE＝3，

∴y2＝≈4.2，

当x＝6时，点D与B重合，

∴CD＝BC，

∵∠CAB＝30°，

∴CD＝BC＝AB＝3.0，

故答案为：4.2，3.0．

（2）函数图象如图所示：

（3）当∠ECD＝60°时，

在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，

∴∠CED＝30°，

∴EC＝2CD，

∴y2＝2y1，

观察图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6.0cm．

故答案为：4.5或6.0．