Question

已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE•CD

 

CF•AD（填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE•CD=CF•AD成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则

DE

CF

的值为

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出

DE

AD

=

DF

DG

，证△CGD∽△CDF，得出

DF

DG

=

CF

CD

，即可得出答案；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=

3

4

x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM²+CM²=BC²，代入得出方程（x-3）²+（

3

4

x）²=6²，求出CN=

96

25

，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

解答：（1）解：DE•CD=CF•AD，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴

DE

CF

=

AD

CD

，
∴DE•CD=CF•AD，
故答案为：=．

（2）当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴

DE

AD

=

DF

DG

，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴

DF

DG

=

CF

CD

，
∴

DE

AD

=

CF

CD

，
∴DE•CD=CF•AD，
即当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立．

（3）解：

DE

CF

=

25

24

．
理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
在△BAD和△BCD中

AD=CD AB=BC BD=BD

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴

CM

CN

=

BC

CD

，
∴

CM

x

=

3

4

，
∴CM=

3

4

x，
在Rt△CMB中，CM=

3

4

x，BM=AM-AB=x-3，由勾股定理得：BM²+CM²=BC²，
∴（x-3）²+（

3

4

x）²=3²，
x=0（舍去），x=

96

25

，
CN=

96

25

，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴

DE

CF

=

AD

CN

=

25

24

，
故答案为：

25

24

．

点评：本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．