Question

已知方程x²-2ax+a=4
（1）求证：方程必有相异实根
（2）a取何值时，方程有两个正根？
（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）a取何值时，方程有一根为零？

Answer 1

解：（1）方程x²-2ax+a=4，可化为：x²-2ax+a-4=0，
∴△=4a²-4（a-4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．
（2）若方程有两个正根x₁，x₂，则x₁+x₂=2a＞0，x₁x₂=a-4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x₁+x₂=2a＜0，x₁x₂=a-4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x²-2ax+a=4，得：a=4．
分析：（1）根据△＞0恒成立即可证明．
（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．
（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．
（4）令x=0代入方程求解即可．
点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．