Question

6．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=60°，点E，F分别在AD，DC上，且DE=3，CF=7．
（1）△ABE与△DEF相似吗？为什么？
（2）线段BE和EF之间有怎样的数量关系？为什么？
（3）求∠BEF的度数是多少．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠A=∠D=120°，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=69，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D=120°，
∵DE=3，CF=7，
∴AE=6，DF=2，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$，
∴△ABE∽△DEF，
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{AE}{DF}$=$\frac{3}{2}$；
（3）∵△ABE∽△DEF，
∴∠AEB=∠DFE，
∵∠DEF+∠DFE=60°，
∴∠AEB+∠DEF=60°，
∴∠BEF=180°-60°=120°．

点评 本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．