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15.将函数y=x2-x-2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的图形是函数y=|x2-x-2|的图象,已知过点D(0,4)的直线y=kx+4恰好与y=|x2-x-2|的图象只有三个交点,则k的值为1-2$\sqrt{2}$或-2.

分析 把抛物线y=x2-x-2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,则翻折部分的抛物线解析式为y=-x2+x+2(-1≤x≤2),直线y=kx+4与抛物线y=-x2+x+2(-1≤x≤2)相切时,直线y=kx+4与y=|x2-x-2|的图象恰好有三个公共点,即-x2+x+2=kx+4有相等的实数解,利用根的判别式的意义可求出此时k的值,另外当y=kx+4过(2,0)时,也满足条件.

解答 解:当y=0时,x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,
则抛物线y=x2-x-2与x轴的交点为(-1,0),(2,0),
把抛物线y=x2+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,
则翻折部分的抛物线解析式为y=-x2+x+2(-1≤x≤2),
当直线y=kx+4与抛物线y=-x2+x+2(-1≤x≤2)相切时,
直线y=kx+4与函数y=|x2-x-2|的图象恰好有三个公共点,
即-x2+x+2=kx+4有相等的实数解,整理得x2+(k-1)x+2=0,△=(k-1)2-8=0,
解得k=1±2$\sqrt{2}$,
所以k的值为1+2$\sqrt{2}$或1-2$\sqrt{2}$.
当k=1+2√2时,经检验,切点横坐标为x=-√2<-1不符合题意,舍去.
当y=kx+4过(2,0)时,k=-2,也满足条件,
故答案为1-2$\sqrt{2}$或-2.

点评 本题考查了二次函数与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式,则有不能漏解.

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