Question

24、如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．
（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．
（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

Answer 1

分析：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO₁⊥l于O₁．根据梯形的中位线定理得到2OO₁=DD₁+BB₁=b+d=AA₁+CC₁=a+c．
（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析．

解答：证明：

连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO₁为点O到l的距离，
∴OO₁为直角梯形BB₁D₁D的中位线，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d．
（2）不一定成立．
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理及梯形的中位线定理，难度较大，尤其第二问的解答，所分情况比较多，注意不要遗漏．