Question

如图，抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）先求出直线AC的解析式，由于BD∥AC，那么直线BD的斜率与直线AC的相同，可据此求出直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和，由此可求得其面积；
（3）易知OA=OB=OC=1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，则∠CBD=90°；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标．

解答：解：（1）依题意，得：

a-b+1=0 a+b+1=0

，解得

a=-1 b=0

；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+1；

（2）易知A（-1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；
由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=-1；
∴直线BD的解析式为y=x-1；联立抛物线的解析式得：

y=-x2+1 y=x-1

，解得

x=1 y=0

，

x=-2 y=-3

；
∴D（-2，-3）；
∴S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4；

（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=

2

，BD=3

2

；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：

MN

AN

=

BC

BD

=

1

3

或

MN

AN

=

BD

BC

=3；
即MN=

1

3

AN或MN=3AN；
设M点的坐标为（x，-x²+1），
①当x＞1时，AN=x-（-1）=x+1，MN=x²-1；
∴x²-1=

1

3

（x+1）或x²-1=3（x+1）
解得x=

4

3

，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（

4

3

，-

7

9

）或（4，-15）；
②当x＜-1时，AN=-1-x，MN=x²-1；
∴x²-1=

1

3

（-x-1）或x²-1=3（-x-1）
解得x=

2

3

，x=-1（两个都不合题意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）；
∴M（-2，-3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（

4

3

，-

7

9

）或（4，-15）或（-2，-3）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想．