【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣4,0),B (1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)连接AC、BC,判断△ABC的形状,并证明;
(3)若点P为二次函数对称轴上点,求出使△PBC周长最小时,点P的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC为直角三角形,理由见解析;(3)当P点坐标为(﹣,)时,△PBC周长最小
【解析】
(1)设交点式y=a(x+4)(x-1),展开得到-4a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;
(2)先利用两点间的距离公式计算出AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=25,然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形;
(3)抛物线的对称轴为直线x=-,连接AC交直线x=-于P点,如图,利用两点之间线段最短得到PB+PC的值最小,则△PBC周长最小,接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2,然后进行自变量为-所对应的函数值即可得到P点坐标.
(1)抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
即y=ax2+3ax﹣4a,
∴﹣4a=2,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2;
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
当x=0时,y=﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
∵A(﹣4,0),B (1,0),
∴AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°;
(3)
抛物线的对称轴为直线x=﹣,
连接AC交直线x=﹣于P点,如图,
∵PA=PB,
∴PB+PC=PA+PC=AC,
∴此时PB+PC的值最小,△PBC周长最小,
设直线AC的解析式为y=kx+m,
把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2,
当x=﹣时,y=x+2=,则P(﹣,)
∴当P点坐标为(﹣,)时,△PBC周长最小.
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【题目】有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴为直线x=4
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数.
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式__________________.
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【题目】某中学举办“校园好声音”朗诵大赛,根据初赛成绩,七年级和八年级各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示:
(1)根据所给信息填写表格;
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
七年级 | 85 | ||
八年级 | 85 | 100 |
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)若七年级代表队决赛成绩的方差为70,计算八年级代表队决赛成绩的方差,并判断哪个代表队的选手成绩较为稳定.
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【题目】如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F.
(1)求证:△ABF≌△EDF;
(2)若AB=6,BC=8,求AF的长.
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【题目】已知:如图1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动,速度为lcm/s;连接PQ,设运动的时间为t秒(0<t<5),解答下列问题:
(1)当为t何值时,PQ∥BC;
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y关于t的函数关系式,并求出y的最大值;
(3)如图2,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQPC,是否存在某时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线与轴,轴分别交于点,,与直线交于点.点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动,运动时间设为秒.
(1)求点的坐标;
(2)求下列情形的值;
①连结,把的面积平分;
②连结,若为直角三角形.
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【题目】某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
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