Question

2．发现  任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证  （1）（-1）²+0²+1²+2²+3²的结果是5的几倍？
          （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸   任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．

Answer 1

分析 验证（1）计算（-1）²+0²+1²+2²+3²的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．

解答 解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（-1）²+0²+1²+2²+3²=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（-1）²+0²+1²+2²+3²的结果是5的3倍；

（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n-2）²+（n-1）²+n²+（n+1）²+（n+2）²
=n²-4n+4+n²-2n+1+n²+n²+2n+1+n²+4n+4
=5n²+10，
∵5n²+10=5（n²+2），
又n是整数，
∴n²+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；

延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，
它们的平方和为：（n-1）²+n²+（n+1）²
=n²-2n+1+n²+n²+2n+1
=3n²+2，
∵n是整数，
∴n²是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．

点评 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．