Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）

Answer 1

分析 （1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即可，
（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．
（3）先判断出∠CDB=90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．

解答 （1）证明：∵直线m∥AB，
∴EC∥AD．                
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．  
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD．                             
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵D是AB中点，DE∥AC（已证），
∴F为BC中点，
∴BF=CF．           
∵直线m∥AB，
∴∠ECF=∠DBF．
∵∠BFD=∠CFE，
∴△BFD≌△CFE．             
∴DF=EF．
∵DE⊥BC，
∴BC和DE垂直且互相平分．
∴四边形BECD是菱形．                
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．     
理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，解本题的关键是四边形BECD是菱形．