Question

抛物线交轴于A、B，交轴于C．将一把直尺如图放置在直角坐标系中，使直尺边 ∥，直尺边交轴于E，交AC于F，交抛物线于G，直尺另一边交轴于D．当点D与点A重合时，把直尺沿轴向右平移，当点E与点B重合时，停止平移，在平移过程中，△FDE的面积与直尺平移距离的函数图象如图（3）所示．

   （1）请你求出DE的长及抛物线解析式；

   （2）在直尺平移过程中，直尺边上是否存在一点P，使点构成的四边形这菱形，若存在，请你求出点P坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过G作GH⊥轴于H

① 在直尺平移过程中，请你求出GH+HO的最大值；

        ②点Q、R分别是HC、HB的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR扫过的图形的面积和周长．

（主要考查学生一次函数、二次函数、菱形、相似三角形等知识的综合运用，考试难度C）

 

Answer 1

解：（1） C（0，3）即：OC=3

               ∴DE=2

           在图（1）中作FM⊥DE于M

              ∴ FM=

          由抛物线关于y轴对称得 AC=BC

         ∴∠CBA=∠CAB

         ∵EF∥BC

         ∴∠FED=∠CBA

         ∴∠FED=∠FAE

         ∴FA=FE

         ∵FM⊥DE

         ∴AM=ME=1

         ∵FM∥CO

         ∴△AFM∽△ACO

         ∴

∴AO=4  即：A（-4，0） B（4，0）

         将B（4，0）代入得： 即…………3分

  （2） ①如图（1）当D与A重合时，FD=FE，过E作∥FA交B′C′于，

则四边形为菱形 ，此时F()

∵F与关于轴对称        ∴()

        ②如图（2）若FE=ED=2时，过F作∥ED交B′C′于, 则四边形为菱形

        反向延长交y轴于W，过F作FN⊥x轴于N

          ∵FE∥BC         ∴∠FEN=∠CBO

          ∴∠FEN=∠CBO=

        在Rt△ENF中，∠FEN=即FN=

        直线AC的解析式为,

令则

∴FW=    ∴

∴

  （3） ① 设G

       

         ∴GH+HO的最大值为

        ② 在平移的过程中， QR始终平行且等于BC的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形

如图

 设HO=，则GH=

∵△EFM∽△EGH

           ∴

           ∴ （舍去）

            即：HO=

            ∵ HB=HO+OB=+4=

            ∴

            ∵

            ∴

                                   

            的周长=