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9.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则$\frac{CC'}{{{B}{B}'}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$(结果保留根号).

分析 先连接AC,AG,AC',构造直角三角形以及相似三角形,根据△ABB'∽△ACC',可得到$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$,设AB=AB'=x,则AG=$\sqrt{2}$x,DG=x-4,Rt△ADG中,根据勾股定理可得方程72+(x-4)2=($\sqrt{2}$x)2,求得AB的长以及AC的长,即可得到所求的比值.

解答 解:连接AC,AG,AC',
由旋转可得,AB=AB',AC=AC',∠BAB'=∠CAC',
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AB′}{AC′}$,
∴△ABB'∽△ACC',
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$,
∵AB'=B'G,∠AB'G=∠ABC=90°,
∴△AB'G是等腰直角三角形,
∴AG=$\sqrt{2}$AB',
设AB=AB'=x,则AG=$\sqrt{2}$x,DG=x-4,
∵Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2
∴72+(x-4)2=($\sqrt{2}$x)2
解得x1=5,x2=-13(舍去),
∴AB=5,
∴Rt△ABC中,AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$,
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$,
故答案为:$\frac{\sqrt{74}}{5}$.

点评 本题主要考查了旋转的性质,相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,解一元二次方程以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形,依据相似三角形的对应边成比例,将$\frac{CC′}{BB′}$转化为$\frac{AC}{AB}$,并依据直角三角形的勾股定理列方程求解,从而得出矩形的宽AB,这也是本题的难点所在.

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