Question

20．如图，二次函数y=ax²+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．

解答 解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax²+bx，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S_△OAD=$\frac{1}{2}$OD•AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CE=$\frac{1}{2}$×4×（x-2）=2x-4；
S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CF=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+3x）=-x²+6x，
则S=S_△OAD+S_△ACD+S_△BCD=4+2x-4-x²+6x=-x²+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=-x²+8x（2＜x＜6），
∵S=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．