Question

已知：在直角坐标系中，点C的坐标为（0，-2），点A与点B在x轴上，且点A与点B的横坐标是方程x²-3x-4=0的两个根，点A在点B的左侧．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的关系式．
（2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过解方程，首先求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）①由于没有明确等腰△BDE的腰和底，所以要分类进行讨论：
Ⅰ、BD为底，此时点P在线段BD的中垂线上，B、D的坐标已知，则E点横坐标可求，在求出直线BC的解析式后代入其中即可确定点E的坐标；
Ⅱ、DE为底，那么BE=BD=2，在Rt△BOC中，∠DBE的正弦、余弦值不难得出，所以过E作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形来确定点E的坐标；
Ⅲ、BE为底，解法与Ⅱ类似，唯一不同的是需要过D作BE的垂线，通过构建直角三角形首先求出BE的长．
②△CDP中，线段CD的位置是确定的，所以以CD为底进行讨论，欲使△CDP的面积最大，必须令点P到直线CD的距离最长，若做一条与直线CD平行的直线，当该直线与抛物线有且只有一个交点时，这个唯一的交点就是符合条件的P点，理清大致思路后，具体的解法便不难得出：首先求出直线CD的解析式，然后过P作直线l∥直线CD，且点P为直线l与抛物线的唯一交点，由于直线l、CD平行，所以它们的斜率相同，联立抛物线的解析式后即可求出交点P的坐标，然后过P作x轴的垂线，通过图形间的面积和差关系求出△CDP的面积最大值．

解答：解：（1）解方程x²-3x-4=0，得：x₁=-1、x₂=4，则 A（-1，0）、B（4，0）；
依题意，设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0+1）（0-4）=-2，
解得：a=

1

2

故抛物线的解析式：y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）①分三种情况讨论：
Ⅰ、当DE=BE时（如图①-Ⅰ），点E在线段BD的中垂线上，则E点横坐标为3；
由C（0，-2）、B（4，0）得，直线BC：y=

1

2

x-2；
当x=3时，y=

1

2

x-2=-

1

2

，即 E（3，-

1

2

）；
Ⅱ、当BE=BD时（如图①-Ⅱ），BE=BD=2；
在Rt△OBC中，sin∠DBE=

5

5

，cos∠DBE=

2 5

5

；
过E作EF⊥x轴于点F，则有：
在Rt△BEF中，EF=BE•sin∠DBE=2•

5

5

=

2 5

5

，BF=BE•cos∠DBE=

4 5

5

，
则OF=OB-BF=4-

4 5

5

，即 E（4-

4 5

5

，-

2 5

5

）；
Ⅲ、当BD=DE时（如图①-Ⅲ），DE=BD=2；
过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥x轴于G，则有：
在Rt△BDH中，同Ⅱ可求得BH=

4 5

5

，则 BE=2BH=

8 5

5

；
在Rt△BEG中，EG=BE•sin∠DBE=

8 5

5

•

5

5

=

8

5

，BG=BE•cos∠DBE=

16

5

，
则OG=OB-BG=

4

5

，即 E（

4

5

，-

8

5

）；
综上，当BE=DE时，E（3，-

1

2

）；当BE=BD时，E（4-

4 5

5

，-

2 5

5

）；当BD=DE时，E（

4

5

，-

8

5

）．

②由C（0，-2）、D（2，0）得，直线CD：y=x-2；
作直线l∥CD，且直线l与抛物线有且只有一个交点P，设直线l：y=x+b，联立抛物线的解析式：
x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-

5

2

x-2-b=0
△=

25

4

-4×

1

2

×（-2-b）=0，解得 b=-

41

8

即，直线l：y=x-

41

8

；
联立直线l和抛物线的解析式，得：

y=x- 41 8 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得

x= 5 2 y=- 21 8

则P（

5

2

，-

21

8

）；
过P作PM⊥x轴于M，如图（2）②
△CDP的最大面积：Smax=

1

2

×（2+

21

8

）×

5

2

-

1

2

×2×2-

1

2

×（

5

2

-2）×

21

8

=

25

8

；
综上，当P（

5

2

，-

21

8

）时，△CDP的面积有最大值，且最大面积为

25

8

．

点评：此题主要考查的知识点有：一元二次方程的解法、利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定、三角形面积的求法等；（2）的两个小题较为复杂，在①中，没有明确等腰三角形的底和腰是容易漏解的地方，这里需要分类讨论；在②中，此题所用的解法是平行法，也可直接用面积法来获取关于S_△CDP和m的函数关系式，但是必须根据P点的不同位置分段进行讨论，因为P点的位置直接影响到了面积间的和差关系．