Question

如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）．
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证：直线CD是⊙M的切线．
（3）在（2）的条件下，连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，求此圆锥的高．

Answer 1

分析：（1）连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条直线相交于点M；
（2）由A得到坐标是（0，4），可知B点坐标是（4，4），C点坐标是（6，2），设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，在Rt△CME中，利用勾股定理可求CM²，同样在Rt△CED中利用勾股定理可求CD²，而根据数值可知CM²+CD²=DM²，故利用勾股定理逆定理可证△CDM是直角三角形，即∠MCD=90°，则CD是⊙M的切线；
（3）连接MA、MC，由于OA=ME=4，∠AOM=∠MEC=90°，CE=OM=2，利用SAS可证△AOM≌△MEC，再根据全等三角形的性质，易求出∠AMO+∠CME=90°，即∠AMC=90°，再利用勾股定理可求线段AM=MC=2

5

，从而利用弧长公式可求弧AC=

5

π，设扇形AMC卷成的圆锥如图3，作圆锥的高MG，连接AG，利用弧长公式可求AG=

5

2

，在Rt△AGM中，利用勾股定理可求GM．

解答：（本题12分）
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心．
正确即可（2分）

（2）证明：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，
从而B（4，4）、C（6，2）（1分）
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的
交点为E，连接MC，作直线CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，（1分）
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，（1分）
∴∠MCD=90°，（1分）
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．（1分）

（3）连接MA（图2）
∵OA=ME=4，OM=CE=2，∠AOM=∠MEC=90°，
∴△AOM≌△MEC，
∴∠AMO=∠MCE，
又∵∠CME+∠MCE=90°，∠AMO+∠CME=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AM⊥MC，（2分）
又∵MA=MC=2

5

，
∴弧AC的长=

5

π，（1分）
设扇形AMC卷成的圆锥如图3，作圆锥的高MG，连接AG，则AG=

5

2

，（1分）
∴扇形AMC卷成的圆锥的高MG=

MA2-AG2

=

5 3

2

．（1分）

点评：本题利用了线段垂直平分线的作法、勾股定理及逆定理、切线的判定、全等三角形的判定和性质、弧长计算公式．