Question

17．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥CP=CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO平分∠BCD恒成立的结论有①②③⑤⑥⑦⑨（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以⑥⑦正确；再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP=BQ，所以③正确；由△DCE是等边三角形，∠AOB=60°，故⑤小题正确；由△ACP≌△BCQ得出AP=BQ，故③小题正确；根据DP=QE，得出∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，即∠DQE≠∠CDE，故④错误；先判断出D，O，C，E四点共圆，从而得出∠DCE=∠AOC=60°，即OC平分∠AOE，故⑨正确；由△ACD≌△BCE，△ACP≌△BCQ，△CDP≌△CEQ．故⑧错误，由PC=QC，∠AOC=∠EOC，OC=OC，不能说明△POC与△QOC全等，即∠BCO≠∠DCO，故⑩CO平分∠BCD错误．

解答 解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠DAC+∠ADC=∠DCE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠AOB=60°，故⑤小题正确；
∵△ACP≌△BCQ
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，故⑦正确．
∴CP=CQ，故⑥正确，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，
同理可得出∠AOE=120°，
∵D，O，C，E四点共圆，
∴∠OCD=∠OED，
∴∠OAC=∠OCD，
∴∠DCE=∠AOC=60°，
∴OC平分∠AOE，故⑨正确
∵等边△ABC、等边△DCE，
∴∠ACB=∠CED，即BC∥DE，
同理可证AB∥CD，
即可得△BAE∽△QCE，△APC∽△ADE，
∴$\frac{PC}{DE}=\frac{CQ}{AB}$，
∵BA=CA，DE=CE，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∵PC=CQ，CD=CE，∠PCD=∠QCE，
∴△CDP≌△CEQ．
∴有三对全等三角形，故⑧错误；
∵PC=QC，∠AOC=∠EOC，OC=OC，
∴不能说明△POC与△QOC全等，
∴∠BCO≠∠DCO，故⑩CO平分∠BCD错误．
∴正确的是①②③⑤⑥⑦⑨；
故答案为：①②③⑤⑥⑦⑨．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质及三角形全的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．