Question

【题目】如图,在四边形ABCD中,AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD和AC于点E,F,对角线AC和BD相交于点G,则GE和GF相等吗?为什么?

Answer 1

【答案】解:GE=GF.理由如下:
取BC的中点P,连接MP,NP.

∵AM=BM,BP=CP,
∴MP∥AC,MP= AC.
同理NP∥BD,NP= BD.
∵AC=BD,∴MP=NP.
∴∠PMN=∠PNM.
∵MP∥AC,NP∥BD,
∴∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM.
∴∠GFE=∠GEF.
∴GE=GF.
【解析】根据已知条件M,N分别是AB,CD的中点，取BC的中点P，连接MP,NP，构造△ABC和△BCD的中位线，根据中位线定理及AC=BD，证出MP=NP，再根据等边对等角得出∠PMN=∠PNM，然后根据平行线的性质证得∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM，得出∠GFE=∠GEF，根据等角对等边可证得结论。