Question

11．平行四边形ABCD周长为110cm，面积为600cm²，AB：BC=6：5，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求：cos∠EDF．

Answer 1

分析 首先延长DF交AB的延长线于点H，设AB=6xcm，BC=5xcm，由平行四边形ABCD周长为110cm，可求得各边的长，又由AB：BC=6：5，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求得DE与DF的长，继而利用勾股定理求得AE，BE，CF的长，再利用相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得DH的长，则可求得答案．

解答 解：延长DF交AB的延长线于点H，设AB=6xcm，BC=5xcm，
∵平行四边形ABCD周长为110cm，
∴2（6x+5x）=110，
解得：x=5，
∴CD=AB=30cm，AD=BC=25cm，
∵平行四边形ABCD面积为600cm²，
∴DE=20cm，DF=24cm，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=18cm，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=15cm，
∴BF=BC-CF=7cm，BE=AB-AE=15cm，
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BHF，
∴$\frac{BH}{CD}=\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{BH}{30}=\frac{7}{18}$，
解得：BH=$\frac{35}{3}$cm，
∴EH=BE+BH=$\frac{80}{3}$cm，
∴DH=$\sqrt{D{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{100}{3}$cm，
∴cos∠EDF=$\frac{DE}{DH}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．