分析 如图,作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.首先证明Rt△DMC≌Rt△DNB,推出CM=BN,△ADM≌△ADN,推出AM=AB,再证明DE∥AC,推出∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°,推出AE=DE,推出∠DEN=60°,在Rt△ADN中,可得DN=AN•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,在Rt△EDN中,可得DE=DN÷cos30°=$\frac{8}{3}$,由此即可解决问题.
解答 解:如图,作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.
∵∠CAD=∠BAD=30°,DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,
∴DN=DM,
在Rt△DMC和Rt△DNB中,
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DM=DN}\end{array}\right.$,
∴Rt△DMC≌Rt△DNB,
∴CM=BN,
同理可证△ADM≌△ADN,
∴AM=AB,
∴AC+AB=AM+CM+AN-BN=2AM=8,
∴AM=AN=4,
∵∠DCM=∠DBN,
∴∠1=∠2,
∵∠CDE=∠2,
∴∠1=∠CDE,
∴DE∥AC,
∴∠ADE=∠CAD=∠DAB=30°,
∴AE=DE,
∴∠DEN=60°,
在Rt△ADN中,DN=AN•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
在Rt△EDN中,DE=DN÷cos30°=$\frac{8}{3}$,
∴AE=$\frac{8}{3}$,
∴EB=AB-AE=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$.
故答案为$\frac{1}{3}$.
点评 本题科学全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
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A. | ②③ | B. | ②④ | C. | ①②③ | D. | ②③④ |
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A. | x=1 | B. | $x=\frac{7}{11}$ | C. | $x=\frac{11}{7}$ | D. | x=-1 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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