Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点M，且BE⊥AC．
（1）求证：BM=AC；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）易证AD=BD，由垂直的性质和已知条件证明△ADC≌△BDM，所以BM=AC；
（2）由（1）可知△ADC≌△BDM，所以∠C=∠BMD，根据已知条件和三角形的外角和定理证明∠C=∠BAC即可．

解答：（1）证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BMD+∠MBD=90°，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠DBM=∠DAC，
在△ADC和△BDM中，

∠ADB=∠ADC ∠DBM=∠DAC AD=BD

，
∴△ADC≌△BDM（AAS），
∴BM=AC；

（2）∵△ADC≌△BDM，
∴∠C=∠BMD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BMD=∠AME=∠BAD+∠DAC，
∴∠BMD=∠BAC，
∴∠C=∠BAC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．发现并利用BD=AD是正确解决本题的关键