Question

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元．该厂鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元，由于受生产条件限制，订购数量不超过600个．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式；
（3）设销售商一次订购x个时，工厂获得的利润为W元，写出W与x的函数表达式，并求出当一次订购多少个时，工厂所获利润最大，最大利润为多少元？

Answer 1

分析：（1）设订购量为x个时，出厂单价为51元，根据等量关系：降价0.02（x-100）后单价为51可列出方程，解出即可；
（2）需要讨论x的范围，根据题意将P表示成关于x的分段函数．
（3）根据利润=单件利润×数量，可得出利润W关于x的分段函数，从而根据每段函数的增减性及x的范围即可确定答案．

解答：解：（1）设订购量为x个时，出厂单价为51元，
由题意得：60-0.02（x-100）=51，
解得：x=550．
即当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰降为51元；
（2）①当x≤100时，P=60；②当100＜x≤550时，P=-0.02x+62；③当550＜x≤600时，P=51；
综上可得：P=

60 (x≤100) -0.02x+62(100＜x≤550) 51  (550＜x≤600)

；
（3）W=（P-40）x，
①当x≤100时，P=60，此时W=（60-40）x=20x，由一次函数的性质可知，当x=100时，W_max=20×100=2000元；
②当100＜x≤550时，P=-0.02x+62，此时W=（-0.02x+62-40）x=-0.02x²+22x=-0.02（x-550）²+6050，
∴当x=550时，W_max=6050元；
③当550＜x≤600时，P=51，此时W=（51-40）x=11x，由一次函数的性质可知，当x=600时，W_max=6600元；
综上可得W=

20x (0≤x≤100) 0.02x2+22x(100＜x≤550) 11x(550＜x≤600)

，且当x=600时，W取得最大，W_max=6600元．
即当一次性订购600时，工厂获得的利润最大，最大利润为6600元．

点评：本题属于二次函数的应用，结合实际考查了分段函数、函数的最值，难度一般，关键是将题意所述的等量关系转化成函数的知识，要求我们认真审题，得出各量之间的联系．