Question

保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2011年1 月的利润为160万元．设2011年1月为第l个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2011年l月底起适当限产，并投入资金进行治污改造．整个工程经过治污改造、调试、全面投产三个时期．经测算：从1月到5月为治污改造期，y是x的二次函数，且其图象的顶点为（5，80），到5月底治污改造工程顺利完成，紧接的6月、7月为调试期，月利润和5月份持平，调试期过后，设备全面投产，该厂每月利润比前一个月增加15万元，如图所示．
（1）求治污改造期间y与x的函数关系式：
（2）全面投产后，经过几个月该厂月利润才能达到2011年1月的水平？
（3）当月利润少于100万元时，该月为工厂资金紧张期，资金紧张期连续超过6个月就有停产的危险，问：该厂这次改造工程是否有导致停产的危险？

Answer 1

分析：（1）用顶点式设出二次函数解析式，把（1，160）代入可得二次函数解析式；
（2）7月后y=80+15×比7月份增加的月数，让y=160求得合适的整数解即可；
（3）分别把100代入（1）（2）得到的关系式，看利润为100时共有几个月，与6比较即可．

解答：解：（1）根据图象，二次函数图象经过（1，160），
设二次函数为y=a（x-5）²+80，
则16a+80=160，
解得a=5，
∴二次函数为y=5（x-5）²+80 （1≤x≤5），
∴治污改造期间y与x的函数关系式为y=5（x-5）²+80；

（2）设利润为y，
y=80+15（x-7），
当y=160时，x=12

1

3

，
12

1

3

-7=5

1

3

，
∴全面投产后，经过6个月，该厂利润才能达到160万元；

（3）当y=100时，100=5（x-5）²+80，解得x₁=3，x₂=7，
80+15（x-7）=100，解得x=8

1

3

，
∴资金紧张期共有8-2=6个月．
故该厂资金紧张期共有6个月，没有停产的危险．

点评：考查二次函数的应用；由于得到的月份不是整月份，易错点是根据实际情况采用进一法或去尾法．