Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，3），（2，1）．
（1）是否在x轴上存在一点P，使PA+PB的值最小？若存在，请说出该点坐标，若不存在，请说明理由．
（2）是否在x轴上存在一点Q，使QA-QB的值最长？若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）作出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P即为所求，此时PA+PB的值最小，根据待定系数法求出直线A′B的解析式，即可求得P的坐标．
（2）作直线AB交x轴于Q即为所求，此时QA-QB的值最长，根据待定系数法求得求出直线AB的解析式，即可求得Q的坐标．

解答：解：（1）存在；
作出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P即为所求，此时PA+PB的值最小；
∵A（2，3），
∴A′（2，-3），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∵A′（2，-3），B（-2，1），
∴

2k+b=-3 -2k+b=1

，解得

k=-1 b=-1

，
∴直线A′B的解析式为y=-x-1，
令y=0，则x=-1，
∴P的坐标为（-1，0）．
（2）存在；
作直线AB交x轴于Q即为所求，此时QA-QB的值最长；
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴

2m+n=3 -2m+n=1

，解得

m= 1 2 n=2

∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+2，
令y=0，则x=-4，
∴Q的坐标为（-4，0）．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求解析式，熟练掌握轴对称的性质，找出P、Q点是解题的关键．