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5.已知二次函数y=-x2+(a-2)x+3,当x>2时y随着x的增大而减小,且关于x的分式方程$\frac{a-x}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$的解是自然数,则符合条件的整数a的和是(  )
A.3B.8C.15D.16

分析 由二次函数的增减性可求得对称轴,可求得a取值范围,再求分式方程的解,进行求解即可.

解答 解:
∵y=-x2+(a-2)x+3,
∴抛物线对称轴为x=$\frac{a-2}{2}$,开口向下,
∵当x>2时y随着x的增大而减小,
∴$\frac{a-2}{2}$≤2,解得a≤8,
解关于x的分式方程$\frac{a-x}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$可得x=$\frac{a+1}{2}$,
∵分式方程的解是自然数,
∴a+1是2的倍数的自然数,
∴符合条件的整数a为:1、3、5、7,
∴符合条件的整数a的和为:1+3+5+7=16,
故选D.

点评 本题主要考查二次函数的性质,由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键.

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