数学活动:求重叠部分的面积(1)问题情境:如图①.将顶角为120°的等腰三角形纸片的顶点P与等边△ABC的内心O重合.已知OA=2.则图中重叠部分△PAB的面积是$\sqrt{3}$．的条件下.将纸片绕P点旋转至如图2所示位置.纸片两边分别与AC.AB交于点E.F.求图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等.请给予证明:如果不相等.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．数学活动：求重叠部分的面积
（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积是$\sqrt{3}$．
（2）探究1：在（1）的条件下，将纸片绕P点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，求图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等，请给予证明：如果不相等，请说明理由．

分析（1）由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，结合条件OA=2即可求出重叠部分的面积．
（2）由旋转可得∠FOE=∠BOA，从而得到∠EOA=∠FOB，进而可以证到△EOA≌△FOB，因而重叠部分面积不变．

解答解：（1）过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图①，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵点O为△ABC的内心，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OB=OA=2，
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1，
∴AN=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AN=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$B•PN=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；

（2）图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．
证明：连接AO、BO，如图②，
由旋转可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FBO=30°}\\{OA=OB}\\{∠EOA=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB．
∴S_{四边形AEOF}=S_△OAB．
∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．

点评本题属于探究性试题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，有一定的综合性．

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