Question

如图，将一张矩形大铁皮切割（切痕如虚线）成九块，其中有两块是边长都为a厘米的大正方形，两块是边长都为b厘米的小正方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示切痕的总长为

6a+6b

厘米；
（2）若最中间的小矩形的面积为22厘米²，四个正方形的面积和为200厘米²，试求a+b的值；
（3）现要从切块中选择6块，恰好焊接成一个长方体盒子，共有哪几种方案可供选择？按哪种方案焊接的长方体盒子的体积最大？试说明理由．（接痕的大小和铁皮的厚度忽略不计）

Answer 1

分析：（1）求得各条切痕的和即可；
（2）最中间的小矩形的面积为22厘米²，即ab=22，四个正方形的面积和为200厘米²，即2a²+2b²=200，然后利用完全平方公式进行变形即可求得a+b的值；
（3）用2块大正方形和4块小矩形焊接或用2块小正方形和4块小矩形焊接，分别表示出各自的体积，然后进行比较即可．

解答：解：（1）6a+6b； 
（2）依题意得，
2a²+2b²=200，
则a²+b²=100，
即（a+b）²-2ab=100，
（a+b）²=100+2ab，
即：（a+b）²=144
∵a+b＞0，
∴a+b=12．
（3）有两种方案选择可供选择：
方案一：用2块大正方形和4块小矩形焊接，其体积为V₁=a²b（cm³）； 
方案二：用2块小正方形和4块小矩形焊接，其体积为V₂=ab²（cm³）；
V₁-V₂=a²b-ab²=ab（a-b），
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴V₁-V₂＞0，
即：V₁＞V₂
所以按方案二焊接的长方体盒子的体积最大．

点评：本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式正确对公式进行变形是解题的关键．